Software LINGO

Anda ingin mengerjakan persoalan Program Linier dengan cepat, silakan menggunakan software berikut. 
Semoga membantu. 
Adapun alamatnya adalah:


Software Lingo Model

Integer Programming

Model Programa Linier :

Integer programming (pemrograman integer) adalah sebuah model optimasi matematis atau program kelayakan di mana beberapa atau semua variabel dibatasi untuk bilangan bulat. Dalam banyak rangkaian istilah ini mengacu pada pemrograman linear integer, yang juga dikenal sebagai integer programming campuran.

            Maks. z = c₁x₁ + c₂x₂ + ……………. + c_nx_n

            d. k.           a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + …………….a_1nx_n < b₁

                                         .

                                         .

                              a_m1x₁ + a_m2x₂ + …………….a_mnx_n < b_m

                                                            x₁; x₂; ………….x_n > 0

Semua variabel keputusan dari model di atas akan mempunyai nilai riel yang non negatif, seperti bilangan pecahan, bilangan desimal. Kadang-kadang variabel keputusan harus mengambil nilai bilangan bulat. Misalnya jumlah pekerja, mesin dls. Jika kita membulatkan nilai optimal yang diperoleh, penyelesaiannya belum tentu memberikan hasil yang optimal.

Contoh 1 :

Sebuah perusahaan akan membeli beberapa buah mesin dari dua macam mesin yang berbeda. Harga mesin pertama adalah $ 1.000.000 dan mesin kedua $ 4.000.000 per unit. Keuntungan mesin pertama adalah $ 30.000 dan mesin kedua adalah $ 130.000 per unit per bulan. Dana yang tersedia untuk membeli mesin adalah $ 11.000.000. Berapa buah mesin yang akan dibeli setiap jenisnya. Tujuan perusahaan tersebut  adalah memaksimalkan keuntungan setiap bulan.

Model Programa Liniernya adalah :

Maks. Z = 30X1 + 130X2

d. k.               X1 + 4X2     < 11

                        X1; X2 > 0 dan integer

Penyelesaian :

Jika kendala integer diabaikan, diperoleh hasil sebagai berikut :

            X1 = 0

            X2 = 2,75

            Z   = 357,5

Oleh karena variabel keputusan harus merupakan bilangan bulat, kita tetapkan X1 = 0 dan X2 = 2 (X2 = 3 adalah tidak layak), maka diperoleh Z = 260. Akan tetapi jika diteliti lebih lanjut  pada X1 = 5 dan X2 = 1 diperoleh Z = 280. Dengan demikian terlihat bahwa pembulatan hasil variabel keputusan dapat diperoleh nilai Z yang tidak optimal. Untuk itu perlu dicari cara penyelesaian yang memberikan hasil yang optimal.

JENIS-JENIS MODEL PROGRAMA INTEGER :

1.    Programa Integer Murni

2.    Programa Integer 0 – 1

3.    Programa Integer Campuran

FORMULASI PERSOALAN PROGRAMA INTEGER :

Contoh 2 (Programa Integer murni) :

PT. X membangun kapal layar fiber glass dengan ukuran panjang 30 ‘ dan 20’.  Keuntungan dari penjualan kapal tersebut adalah  $ 6.000 dan  $ 1.000 per unit. Setiap jenis kapal memerlukan waktu pembangunan masing-masing selama 1 minggu. Sumber yang terbatas adalah luas lantai dan tenaga kerja. Kapal ukuran 30’ memerlukan luas lantai dua unit dan 4 unit tenaga kerja, sedangkan kapal ukuran 20’ memerlukan  1 unit luas lantai dan 1 unit tenaga kerja. Luas lantai yang tersedia adalah 4 unit Dan tenaga kerja yang tersedia adalah 6 unit setiap minggu. Berapa unit kapal yang dibangun per minggu ? Buatlah model matematis dari persoalan di atas.

Penyelesaian :

Variabel keputusan :

            X1 = jumlah kapal ukuran 30’ yang dibangun

            X2 = jumlah kapal ukuran 20’ yang dibangun

Fungsi tujuan :

            Maks. Z = 6X1 + X2

Kendala :

                              4X1 + X2 < 6   (kebutuhan tenaga kerja)

                               2X1 + X2 < 4   (luas lantai)

                                        X1; X2 > 0 dan integer

Contoh 3 (Persoalan Programa Integer 0 – 1) :

Perusahaan X adalah sebuah perusahaan pengelola dana pensiun sedang mempertimbangkan lima buah usulan investasi tiga tahun. Perusahaan tersebut mengalokasikan dana sebesar $ 50 juta, $ 40 juta dan $ 30 juta untuk tahun I, II, dan III. Proyek tersebut harus selesai dalam tiga tahun dan menghasilkan untung. Aliran dana dari invesatasi diperlihatkan pada tabel berikut :

Proposal	Kebutuhan modal ( $ juta)			Net Present Value
investasi	Tahun I	Tahun II	Tahun III	(NPV - $ juta)
A B C D E	10 14 16 8 9	8 11 12 9 7	6 8 9 7 5	15 18 9 8 8

Buatlah model matematis dari persoalan di atas.

Penyelesaian :

                                     1 jika proposal j dipilih

Variabel : X_j =

                                     0 jika proposal j tidak dipilh

Model menjadi :

            Maks. Z = 15X1 + 18X2 +   9X3 +  8X4 + 8X5

            d. k.          10X1 + 14X2 + 16X3 +  8X4 + 9X5 < 50

                                8X1 + 11X2 + 12X3 +  9X4 + 7X5 < 40

                                6X1 +   8X2 +   9X3 +  7X4 + 5X5 < 30

                                       X_J = 0 atau 1       j = 1; 2; …….; 5

Model di atas disebut ‘knapsack model’. Nama tersebut berasal dari konsep seorang ‘hiker’ yang berharap membawa barangnya dalam ransel sebanyak mungkin. Setiap barang mempunyai berat, volume dan niali yang berbeda. Dia ingin memaksimalkan nilai barang bawaannya tanpa melanggar berat dan isi ranselnya.

Contoh 4 (Persoalan Programa Integer Campuran) :

Sebuah pabrik cat menghadapi persoalan jadual pengiriman barang dari gudang ke toko dengan jumlah persediaan di gudang, jumlah permintaan toko seperti terlihat pada tabel 1 dan 2. Untuk mengangkut cat, perusahaan menyewa truk. Tedapat dua komponen biaya pengiriman, yaitu biaya tetap (tabel 3) untuk pengiriman dari gudang ke toko yang tidak tergantung dari ukuran barang yang diangkut dan biaya variabel sebesar $ 5 untuk setiap 100 l (drum) (tanpa memper-hatian dari gudang ke toko mana cat tersebut diangkut). Buatlah model Programa Integer dari persoalan di atas.

Tabel 1			Tabel 2			Tabel 3 biaya tetap ( $ )
						Dari	Ke toko
Gudang	Tersedia		Toko	Permintaan		Gudang	1	2	3
A B C D	6000 l 7000 l 8000 l 9000 l		1 2 3	8000 l 8000 l 12000 l		A B C D	3800 2900 3650 4075	2750 3100 4020 1920	3400 2850 3840 3040

Penyelesaian :

Variabel : x_ij = jumlah cat (jumlah drum ukuran 100 l) yang diangkut

                         dari gudang I ke toko j

                 y_ij = 1 jika X_ij > 0 (terdapat cat yang diangkut)

                       = 0 jika X_ij = 0 (tidak ada cat yang diangkut)

Bentuk bersyarat di atas bukanlah bentuk yang linier à perlu dijadikan

linier

Bentuk di atas dapat diganti dengan bentuk :

            x_ij – My_ij < 0    dengan M = bilangan positif yang besar sekali

                                         1

                            y_ij =   

                                         0

Bukti :                                 x_ij  –  My_ij

Jika x_ij positif à y_ij = 1        pos. – pos. besar = negatif à memenuhi

                      à y_ij = 0         pos. – nol             = positif  à tidak memenuhi

                                 x_ij – My_ij < 0

Jika y_ij = 0 à          x_ij  - nol  < 0    à        x_ij < 0     à     x_ij = 0  terbukti!

                   Sebelumnya telah ditentukan x_ij > 0

Dengan demikian model adalah :

Fungsi tujuan :

Min. Z = (3800y₁₁ + 5x₁₁) + (2750y₁₂ + 5x₁₂) + (3400y₁₃ + 5x₁₃) + (2900y₂₁ + 5x₂₁) +

              (3100y₂₂ + 5x₂₂) + (2850y₂₃ + 5x₂₃)+ (3650y₃₁ + 5x₃₁) + (4020y₃₂ + 5x₃₂) +

              (3840y₃₃ + 5x₃₃) + (4075y₄₁ + 5x₄₁) + (1920y₄₂ + 5x₄₂) + (3040y₄₃ + 5x₄₃)

Dengan kendala :

Kendala sumber : x₁₁ + x₁₂ + x₁₃ = 60      

                                x₂₁ + x₂₂ + x₂₃ = 70       

                                x₃₁ + x₃₂ + x₃₃ = 80       

                                x₄₁ + x₄₂ + x₄₃ = 90

Kendala tujuan :      x₁₁ + x₂₁ + x₃₁ + x₄₁ = 90

                                x₁₃ + x₂₃ + x₃₃ + x₄₃ = 120

                                 x_ij – My_ij < 0       i = 1; 2; 3; 4     j = 1; 2; 3

                                 x_ij > 0                 i = 1; 2; 3; 4     j = 1; 2; 3

Pada persoalan ini M dapat ditentukan = 120 ( mengapa ?)

Model di atas bentuknya sama dengan persoalan transportasi dalam bentuk standar, kecuali kendala biaya tetap yaitu x_ij – My_ij < 0.

Bentuk ini disebut dengan persoalan biaya tetap (fixed charge problem), karena biaya tetap tersebut berkaitan dengan variabel x_ij. Variabel y_ij adalah untuk menyatakan apakah biaya tersebut dikenakan atau tidak.

Hari-Hari Yang dilarang Berpuasa

a. Dua Hari Raya
Dari Abu Ubaid bekas budak Ibnu Azhar, ia bertutur: saya pernah menghadiri shalat hari raya bersama Umar bin Khattab r.a. lalu ia berkata, “Ini adalah dua hari yang Rasulullah saw. melarang puasa pada keduanya hari kamu berbuka dari puasamu dan hari yang lain ialah (hari) di mana kamu sekalian makan dari sembelihan kurbanmu.” (Muttafaqun’alaih :Fathul Bari IV: 238 no: 1990, Muslim II : 799 no: 1137, ‘Aunul Ma’bud VII: 61 no: 2399, Tirmidzi II: 135 no: 769 dan Ibnu Majah I: 549 no: 1722).

b. Ayyamut Tasyriq’ (hari-hari setelah kurban. Diperselisihkan apakah dua hari ataukah tiga hari. Dinamakan ayyamut tasyriq karena pada hari-hari tersebut daging kurban dijemur pada terik matahari, ada yang berpendapat karena binatang kurban tidak disembelih sebelum matahari bersinar terang, ada pula yang mengatakan karena shalat ‘Idul Adha di saat matahari telah terbit, dan ada juga yang berkata ‘at-tasyriq” artinya takbir pada setiap usaia shalat, Fathul Bari IV/285).

Dari Abu Murrah bekas budak Ummu Hani’ bahwa ia pernah bersama Abdullah bin Amr masuk ke rumah bapaknya, Amr bin ‘Ash r.a. lalu ia menyuguhi makanan kepada mereka berdua seraya berkata, “Makanlah!” Jawab Abdullah bin Amr, (Terima kasih), saya sedang berpuasa, “Maka Amr menegaskan “Makanlah, karena ini adalah hari-hari yang Rasulullah saw. memerintah kita untuk berbuka dan melarang kita berpuasa padanya.” Malik berkata, “Yaitu hari-hari tasyriq.” (Shahih: Shahih Abu Daud no: 2113, dan ‘Aunul Ma’bud VII: 63 no: 2401).

Dari Aisyah dan Ibnu Umar r.a. keduanya mengatakan, “Tidak diberi rukhshah (keringanan), berpuasa pada hari-hari tasyriq, kecuali bagi orang yang tidak mendapatkan (binatang sebagai) hadyun (sembelihan). (Shahih: Shahih Mukhtashar Bukhari 978 dan Fathul Bari IV: 242 no:1997).

c. Puasa di Hari Jum’at saja
Dari Abu Hurairah r.a. ia berkata, Saya pernah mendengar Nabi saw. bersabda, “Janganlah seorang diantara kamu beribadah puasa pada hari Jum’at, kecuali (dengan berpuasa) sehari sebelum atau sesudahnya.” (Muttafaqun ‘alaih : Fathul Bari IV : 232 no: 1985, Muslim II: 801 no: 1144, ‘Aunul Ma’bud VII: 64 no:2403, dan Tirmidzi II: 123 no:740).

d. Puasa di hari Sabtu saja
Dari Abdullah bin Bisr as-Silmi dari dari saudaranya Ash Shamak- r.a. bahwa Nabi saw. bersabda,“Janganlah kamu berpuasa pada hari Sabtu, kecuali apa yang telah difardhukan atas kalian; dan, jika seorang di antara kalian tidak mendapatkan (makanan), kecuali kulit sebutir buah anggur atau dahan kayu, maka kunyahlah!” (Shahih: ‘Aunul Ma’bud VII: 66 no: 2404, Tirmidzi II: 123 no: 741, dan Ibnu Majah I: 550 no: 1726).

e. Setelah Minggu kedua dari bulan Sya’ban bagi orang yang tidak biasa mengerjakannya
Dari Abu Hurairah r.a. bahwa Rasulullah saw. bersabda, “Jika bulan Sya’ban sampai pada pertengahan, maka janganlah kalian berpuasa,” (Shahih: Shahih Ibnu Majah no: 1339, ‘Aunul Ma’bud VI: 460 no: 2320, Tirmidzi II: 121 no: 735, Ibnu Majah I: 528 no: 1651, dengan redaksi yang hampir sama).

Dari Abu Hurairah r.a. bahwa Rasulullah saw. bersabda, “Janganlah sekali-kali seorang diantara kamu berpuasa sehari atau dua hari sebelum Ramadhan, kecuali bagi orang biasa yang melakukan puasa tersebut, maka berpuasalah pada hari itu.” (Muttafaqun’alaih : Fathul Bari IV:127 no: 1914, Muslim II: 762 no: 1082, ‘Aunul Ma’bud VI: 459 no: 2318, dan Tirmidzi II: 97 no: 680, Nasa’i IV: 149 dan Ibnu Majah I: 528 no:1650).

f. Yaumusy Syak (Hari yang diragukan)
Dari ‘Ammar bin Yasir r.a. ia berkata, “Barang siapa yang berpuasa pada hari yang masih diragukan (munculnya hilal Ramadhan), maka sungguh ia telah durhaka kepada Abul Qasim r.a.” (Shahih: Irwa-ul Ghalil no:961, Tirmidzi VI: 97 no: 681, ‘Aunul Ma’bud VI: 457 no: 2317, Nasa’i IV:153 dan Ibnu Majah I:527 no: 1645).

g. Puasa sepanjang tahun, sekalipun berbuka pada hari-hari yang dilarang berpuasa padanya
Dari Abdullah bin Amr r.a. bahwa Rasulullah saw. bersabda kepadaku, “Ya Abdullah bin Amr, sesungguhnya di malam hari, sesungguhnya jika engkau melaksanakan hal itu, berarti engkau telah menyerang dan menyiksa mata untuknya. Tidak (dinamakan) berpuasa orang yang berpuasa selama-lamanya.” (Muttafaqun’alaih : Muslim II : 815 no: 187 dan 1159 dan Fathul Bari IV:224 no: 1979).

Dari Abu Qatadah bahwa ada seorang sahabat bertanya kepada Nabi saw. bertanya, “Ya Rasulullah, bagaimana cara engkau berpuasa?” Seketika itu, Rasulullah saw. marah terhadap pertanyaannya. Kemudian tatkala Umar melihat (sikap beliau) itu, ia berkata, “Kami ridha Allah sebagai Rabb (kami), Islam sebagai agama (kami), dan Muhammad sebagai Nabi (kami); kami berlindung kepada Allah dari murka-Nya dan dari murka Rasul-Nya.” Umar terus mengulang-ulang pernyataan tersebut hingga amarah Rasulullah saw. mereda. Kemudian ia (Umar) berkata, “Ya Rasulullah, bagaimana tentang orang berpuasa terus menerus?” Maka jawab beliau, “(Berarti) dia tidak berpuasa dan tidak (pula) berbuka.”(Shahih: Shahih Abu Daud no: 2119, Muslim II:818 no: 1162, dan ‘Aunul Ma’bud VII: 75 no: 2403, dan Nasa’i IV: 207).

h. Ketika suami di rumah, wanita dilarang melakukan puasa (sunnah), kecuali mendapat izin dari suaminya

Dari Abu Hurairah r.a. bahwa Rasulullah saw. bersabda, “Janganlah seorang isteri berpuasa ketika suaminya di rumah, kecuali mendapat izin darinya.” (Muttafaqun’alaih : Fathul Bari IX: 293 no: 5192, Muslim II:711 no: 1026, ‘Aunul Ma’bud VII: 128 no: 2441, dan Tirmidzi II: 140 no: 779 dan Ibnu Majah I: 560 no: 1761 dengan sedikit tambahan).

Sumber: Diadaptasi dari 'Abdul 'Azhim bin Badawi al-Khalafi, Al-Wajiz Fi Fiqhis Sunnah Wal Kitabil 'Aziz, atau Al-Wajiz Ensiklopedi Fikih Islam dalam Al-Qur'an dan As-Sunnah Ash-Shahihah, terj. Ma'ruf Abdul Jalil (Pustaka As-Sunnah), hlm. 410--414.

Hal-Hal Yang Membatalkan Puasa

Berikut ini adalah hal-hal yang dapat membatalkan puasa, antara lain :

• Makan dan minum dengan sengaja. Jika dilakukan karena lupa maka tidak batal puasanya.
• Jima' (bersenggama).
• Memasukkan makanan ke dalam perut. Termasuk dalam hal ini adalah suntikan yang mengenyangkan dan transfusi darah bagi orang yang berpuasa.
• Mengeluarkan mani dalam keadaan terjaga karena onani, bersentuhan, ciuman atau sebab lainnya dengan sengaja. Adapun keluar mani karena mimpi tidak membatalkan puasa karena keluarnya tanpa sengaja.
• Keluarnya darah haid dan nifas. Manakala seorang wanita mendapati darah haid, atau nifas batallah puasanya, baik pada pagi hari atau sore hari sebelum terbenam matahari.
• Sengaja muntah, dengan mengeluarkan makanan atau minuman dari perut melalui mulut. Hal ini didasarkan pada sabda Nabi shallallahu 'alaihi wasallam.”Barangsiapa yang muntah tanpa sengaja maka tidak wajib qadha, sedang barangsiapa yang muntah dengan sengaja maka wajib qadha." (HR. Ahmad, Abu Dawud, Ibnu Majah dan At-Tirmidzi). Dalam lafazh lain disebutkan : "Barangsiapa muntah tanpa disengaja, maka ia tidak (wajib) mengganti puasanya)." DiriwayatRan oleh Al-Harbi dalamGharibul Hadits (5/55/1) dari Abu Hurairah secara maudu' dan dishahihRan oleh AI-Albani dalam silsilatul Alhadits Ash-Shahihah No. 923.
• Murtad dari Islam (semoga Allah melindungi kita darinya). Perbuatan ini menghapuskan segala amal kebaikan. Firman Allah Ta'ala: Seandainya mereka mempersekutukan Allah, niscaya lenyaplah dari mereka amalan yang telah mereka kerjakan. "(Al-An'aam:88). 

Tidak batal puasa orang yang melakukan sesuatu yang membatalkan puasa karena tidak tahu, lupa atau dipaksa. Demikian pula jika tenggorokannya kemasukan debu, lalat, atau air tanpa disengaja. Jika wanita nifas telah suci sebelum sempurna empat puluh hari, maka hendaknya ia mandi, shalat dan berpuasa.

Alamat JNE JAWA TENGAH

JNE BANJARNEGARA Jl. DI Panjaitan # 37. Ph 0818 02 820 228 JNE BOYOLALI Jl. Pandanaran ( kios Pasar Boyolali) . Ph ( 0276) 324271 JNE CEPU Jl. RSU LR Distrik A/ 8. Ph ( 0296) 421077 JNE CILACAP Jl. Gatot Subroto # 179. Ph ( 0282) 551 3357 JNE KENDAL Jl. Pemuda # 57. Ph ( 0291) 5735 771 JNE KLATEN Jl. Veteran # 29. Ph ( 0272) 328841 JNE KUDUS Jl. HOS Cokroaminoto # 363. Ph ( 0291) 341 425. Fax ( 0291) 341 425 JNE MAGELANG Jl. Gatot Subroto # 18. Ph ( 0293) 311 425. Fax ( 0293) 311 425 JNE PEKALONGAN Jl. Raya Batang-Pekalongan Km 1. Ph ( 0285) 790 3440 JNE PEMALANG Jl. Jend. Urip Sumoharjo # 125. Ph ( 0284) 321 603 JNE PURWOKERTO Jl. Jend. Sudirman Timur # 374. Ph ( 0281) 761 6619 JNE SALATIGA Jl. Osamaliki # 9. Ph ( 0298) 710 2007 JNE SEMARANG Jl. Sultan Agung # 102 Candi Baru. Ph ( 024) 850 4013. Fax ( 024) 850 4014 JNE SOLO Jl. Laksda Adi Sucipto # 19. Ph ( 0271) 721256, 7024442, 5809410-20. Fax ( 0271) 721256 JNE SRAGEN Jl. Setiabudi # 64 Taman Sari. Ph ( 0271) 894400 JNE TEGAL Jl. AR Hakim # 217. Ph ( 0283) 325 059 JNE WONOSOBO Jl. Raya Dieng # 55. Ph (0286) 5821213